Laplace數值反變換
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編輯：聊聊云計算
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2020-07-13 16:55:23
■ 問題提出在博文 逆Laplace數值逆變換 給出了數值計算Laplace逆變換的簡易程序。其中存在以下幾個問題需要討論：問題1： 程序實現過程原理以及優化；問題2： 運算參數：，，對于積分數值的影響。從上篇博文中明顯看到有些計算出的結果大大偏離的實際值。比如其中的函數所計算出來的幅值超過了1.01程序實現原理以及優化1.Laplace逆運算所以，算法的核心是對進行傅里葉反變換，然后在乘以。由于確認變換后的函數是實函數，因此，為了節省計算時間，只對傅里葉反變換的積分，進行正半軸的積分，同時積分的上限由參數決定。對積分的數值取齊實部，再乘以2便可以得到。2.Python積分程序實現優化使用梯形積分來實現函數的積分，可以獲得更精確的積分值。理論分析可知：其中 以及 。那么積分誤差上限為：其中，， 。▲ 圖2.1 梯形積分方法示意圖計算可以有兩種方式：方式1： 對左、右黎曼積分加權平均：方式2： 利用如下的公式計算：最后實現的代碼為：def trapz(f, a, b, N=50): x = linspace(a, b, N+1) y = f(x) y_right = y[1:] y_left = y[:-1] dx = (b-a) / N T = dx/2 * sum(y_right + y_left) return T利用上述公式，對進行積分測試：printf(trapz(sin, 0, pi/2, 1000))所得到結果為：0.9999997943832332。可以看到使用n=1000對應的結果后面的積分精度達到了小數點后面6位9的小數點的位數。3.實現Laplace逆運算通過上面梯形積分方法，實現Laplace數值逆變換，具體的子程序如下面所示。#------------------------------------------------------------def invlt(t, fs, sigma, omiga, nint): omigadim = linspace(0, omiga, nint+1, endpoint=True) y = [(exp(1j*o*t) * fs(sigma+1j*o)).real for o in omigadim] y_left = y[:-1] y_right = y[0:] T = sum(y_right + y_left) * omiga/nint return exp(sigma*t) * T/ pi / 2#------------------------------------------------------------def fs(s): return 1/(s*s+1)#------------------------------------------------------------sigma = 0.2omiga=200nint=omiga*50tdim = linspace(0, 2*pi* 3, 200)ft = [invlt(t, fs, sigma, omiga, nint) for t in tdim]02一些基本函數的實驗下面通過對一些基本常見函數的laplace變換，來測試一下上述程序的性能。Ⅰ.sin(t)sigma=0.2, omiga=200, nint=omiga*50Ⅱ.exp(-t)sigam=-1+0.1, omiga=200, nint=omiga*50Ⅲ.u(t)Ⅳ.u(t-1)Ⅴ.周期化脈沖信號※ 結論通過原理分析，可以獲得建議的Laplace數值逆運算的正確的PYTHON算法程序。這個程序是直接對Laplace反變換公式利用梯形積分方法獲得計算結果。通過對幾種常見的信號Laplace的反變換，驗證了這個算法的正確性。通過在此過程，可以看到，對于參數sigma, omiga, nint對于計算結果還是有很大的影響。另外，對于時間t，只能在比較小的范圍內有效，當t超過一定長度，前面所計算的結果都會出現比較大的誤差。▲ 對于方波進行Laplace數值反變換的結果參考資料逆Laplace數值逆變換: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/107241738公眾號留言
卓大大，請問AI電磁組不進圓環會加時間嗎？規則上寫不要求進圓環，但圓環進比不進的時間更長一些，那這個賽道元素的意義是什么？之前記得您有過類似回答，但是找不到了謝謝您~
回復：這主要是為了使得AI電磁組能夠在普通的賽道上完成比賽，而不必對賽道進行改造。同時，圓環的存在也會對AI電磁組在數據訓練是產生影響。
卓老師好，關于AI電磁組的有個情況需要向您反映一下，規則中規定車模運行方向不限，這里有個bug，如果車倒著跑，電感依然只距離后輪軸心往前5cm,這樣安裝是符合目前公布的規則的，但因為舵機在后，也就是轉向機構在后，相當于獲得了25cm+的物理前瞻，這樣通過傳統電磁尋跡的方法也能輕松獲得不錯的速度，我想這里應該是一個BUG。
現在因為時間緊，不少同學都想用傳統方法來鉆空子，同時因為今年沒有全國統一場地的國賽，還有云比賽的存在，對參賽車模具體采用了什么方法也不利于檢查，需要更多的人力，，所以我認為應該限制運行方向，不能倒著跑，從一定程度上可以打消部分人鉆空子的念頭，此建議僅供卓老師參考。
回復：謝謝你的建議。關于這方面，我們將會給出競賽規則補充說明，限制車模只能往前行。
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